严格来说，可导的奇函数的导函数一定是偶函数。不过也可以简单说成“奇函数的导数一定是偶函数”，因为这句话中，就隐含了这个奇函数可导的性质，否则就没有所谓的“奇函数的导数”了。

至于为什么可导的奇函数的导函数一定是偶函数，老黄这里要用三种方法来证明和理解。

证明方法一最简单，我们可以设f(x)是I上可导的奇函数，则f(-x)=-f(x)，两边同时求导，运用复合函数的求导公式，就可以得到-f'(-x)=-f'(x)，从而有f'(-x)=f'(x)。即f'(x)是一个偶函数。不过老黄觉得这样不够过瘾，还想用导数最原始的定义公式证明一下。

仍设f(x)是I上可导的奇函数，则对任何x属于I，有f'(x)=lim(h->0)[f(x)-f(x-h)]/h，又由f(x)的奇函数性质知，-x属于I，且有f'(-x)=lim(h->0)[f(-x+h)-f(-x)]/h=lim(h->0)[-f(x-h)+f(x)]/h=lim(h->0)[f(x)-f(x-h)]/h=f'(x)，所以f'(x)是偶函数。

注意，导函数的定义实际上有两个公式，一个是f'(x)=lim(h->0)[f(x)-f(x-h)]/h，一个是f'(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h，在上面的过程中，求f'(x)用的是第一个公式，求f'(-x)用的是第二个公式。如果用同一个公式，将无法推出结论。

正所谓“有图有真相”，我们还有第三种方法，就是由奇函数的图像关于原点对称，可以推出可导的奇函数的导函数一定是偶函数的结论。

设(x0,f(x0))是可导的奇函数f(x)的定义域上的任意一点，则(-x0,f(-x0))也在f(x)的图像上，且它们关于原点对称。由f(x)关于原点对称的性质，可以知道，过(x0,f(x0))和(-x0,f(-x0))的切线也关于原点对称。而关于原点对称的两条直线是互相平行的，因此两条切线的斜率相等。由导数的几何意义可以知道，f(x)在(x0,f(x0))和(-x0,f(-x0))两点的导数相等。

这就证明了，f'(x)在相反的自变量上，函数相等，且f'(x)的定义域与f(x)的定义域是一致的，都关于原点对称，符合偶函数的概念，所以f'(x)是一个偶函数。

其实除了确定可导的奇函数的导数一定是偶函数之外，类似的，我们还可以确定可导的偶函数的导数一定是奇函数。简单地就说成“奇函数的导数是偶函数;偶函数的导数是奇函数”。

在定义域范围内，偶数个奇函数相乘是偶函数，奇数个奇函数相乘是奇函数。

奇×奇=偶

奇×偶=奇

偶×偶=偶

奇×奇×奇=偶×奇=奇

其它的高阶的乘法利用类似上面的方法就可以推出来。

扩展资料：

函数的奇偶性也就是对任意xEl，若f(-x)=f(x)，即在关于y轴的对称点的函数值相等，则f(x)称为偶函数;若f(-x)= - f(x)，即对称点的函数值正负相反，则f(x)称为奇函数。

在平面直角坐标系中，偶函数的图象对称于y轴，奇函数的图象对称于原点.可导的奇(偶)函数的导函数的奇偶性与原来函数相反。定义在对称区间(或点集)上的任何函数f(x)都可以表示成奇函数φ( x)和偶函数ψ(x)之和。