双曲线的四种定义

双曲线第一定义:平面内,到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a(小于这两个定点间的距离)的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点,两焦点之间的距离称为焦距,用2c表示。

【例1】设圆C1:(x+√5)2+y2=4与圆C2:(x-√5)2+y2=4,动圆C与圆C1外切,与圆C2内切.求动圆C的圆心轨迹L的方程;

【分析】(1)设动圆圆心M(x,y),半径为r,则|MC1|=r+2,|MC2|=r﹣2,可得|MC1|﹣|MC2|=r+2﹣r+2=4<|C1C2|,利用双曲线的定义,即可求动圆圆心的轨迹方程.

【解答】解:(1)设动圆圆心M的坐标为M(x,y),半径为r,

则|MC1|=r+2,|MC2|=r﹣2,

∴|MC1|﹣|MC2|=r+2﹣r+2=4<|C1C2|=2,

由双曲线的定义知,点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支,且2a=4,a=2,b=1,

双曲线的方程为:x2/4-y2=1(x≥2);

【点评】通过圆与圆的位置关系,消除动圆半径后符合双曲线的定义,通过定义直接写出方程.

双曲线第二定义(统一定义):平面内,到给定一点及一直线的距离之比为常数e(e>1,即为双曲线的离心率;定点不在定直线上)的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点,定直线叫双曲线的准线。

【例2】设双曲线x2-y2/3=1的左右焦点为F1,F2.点P(6,6)为双曲线内部的一点,点M是双曲线右支上的一点,求|MP|+|MF2|/2的最小值.

【分析】设过M作准线的垂线MN,垂足为N,欲求|MP|+|MF2|/2的最小值,即求|MP|+|MN|的最小值.

【解答】解∵双曲线方程为x2-y2/3=1,

∴a=1,b=√3,c=2,

可得离心率e=2,

设过M作准线的垂线MN,垂足为N,则|MF2|/|MN|=2,

∴|MN|=|MF2|/2,

∴|MP|+|MF2|/2=|MP|+|MN|,

当且仅当M,N,P三点共线时|MP|+|MF2|/2的值最小,这个最小值为6-1/2=11/2.

【点评】求|MP|+|MF2|/2的最小值,通过圆锥曲线的统一定义将|MF2|/2转化为|MN|,点到直线垂线段最短.

双曲线第三定义(参数方程):双曲线方程:x2/a2-y2/b2=1,可以看成:(x/a)2-(y/b)2=1。而且:sec2α-tan2α=1,所以x=asecα,y=btanα.

在以a、b为半径的圆上分别画出角α对应的asecα与btanα值对应的线段,以(asecα,btanα)为坐标点形成的轨迹即为双曲线。

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解题的艺术

【说明】双曲线的参数方程不是高考范围内的内容,对比椭圆的参数作为了解。

双曲线第四定义(斜率积):双曲线的两个顶点与双曲线上任意一点形成两条直线,两条斜率积为b2/a2。

【例3】已知双曲线C关于两条坐标轴都对称,且过点P(2,1),直线PA1与PA2(A1,A2为双曲线C的两个顶点)的斜率之积KPA1.KPA2=1,求双曲线C的标准方程.

【分析】分类讨论,设出标准方程,确定双曲线的顶点坐标,利用斜率关系及点P的坐标,即可得到结论.

【解答】

【点评】知道斜率积结论,清晰知道解题思路,把斜率积转化成与a、b相关方程得解.

双曲线(Hyperbola)是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹,也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹.

双曲线有两个分支.

在定义1中提到的两给定点称为该双曲线的焦点,定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点.双曲线有两个焦点.

在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线.

在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比,称为该双曲线的离心率.

双曲线有两个焦点,两条准线.(注意:尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线.但是给定同侧的一个焦点,一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支,而两侧的焦点,准线和相同离心率得到的双曲线是相同的.)

双曲线与两焦点连线的交点,称为双曲线的顶点.

双曲线有两条渐近线.

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